      
      
Ŀ
 Institut de batxillerat "ALEXANDRE DEULOFEU" (Figueres)  /Setembre-1992 / 
                                                                           
                                                                           
                                                                           
                                                                           
                                                                           
                                         FUNCIONS          v: 1.13         
                                                                           
                                                                           
                                                                           
                                                                           
                                                                           
                                                                           
          Jordi Lagares Roset                                              
                                                                           
                                                                           
                                                                           
                                                            premeu         
                                                            qualsevol      
                                                            tecla          
                                                                           
                                                                           

      
      
      
      
      
      PREFACI
      
      Aquest programa  ha estat  guardonat amb un  segon premi al
"concurso de  Programas Educativos  para  Ordenador" convocat pel
Ministeri d'Educaci i Cincia any 1991.
          
          
          Aqu hi ha enterrades  moltes hores i  sobretot s'hi ha
posat molta  il.lusi.  La finalitat del programa s,  de fet, la
seva utilitzaci i el servei que des del punt  de  vista didctic
pugui  oferir.  No ha  estat pensat per  sser comercialitzat, de
manera que  agrairia,  a canvi, qualsevol suggeriment, comentari,
crtica o pensament que  hi  volgeu  fer.  Tamb  voldria  que em
fssiu  saber  si  hi  trobeu  algun   "bugg".   Ateses  aquestes
circumstncies,  si l'utilitzeu cal mencionar el nom del programa
i de l'autor.  
          
          
          FUNCIONS
          Jordi Lagares i Roset(1992)
          
          
          (Nota)  Aviat  sortir  una  nova  versi  en  l'entorn
Windows, que aferir noves possibilitats.
          
          
          
          
                         NDEX
      
      
      0-Introducci.
      
               i/Agraments.
      
      1-Dades identificatives de l'autor del programa.
      
      2-Descripci del procediment. Mtodes d'elaboraci.
      
      3-Descripci de processos de validaci  educativa.
      
      4-Requeriments d'hardware.
      
      5-Instal.laci i posada en marxa.
      
      6-Guia del professor.
      
               i  /Descripci d'opcions. Funcionament .
      
               ii /Exemples prctics.
      
               iii/Fe d'errades.
      
      7-Guia de l'alumne .
      
      
      
      
      
      0-INTRODUCCI
      
      Aquest programa serveix per a estudiar les  FUNCIONS i tots
(casi tots) els conceptes relacionats amb elles.
      
      Per      arrancar-lo,   cal  escriure  FUNCIONS  seguit  de
<RETURN>.
      
      En la  guia  del professor  hi  ha  un  mostrari d'exemples
prctics,  en total 36, distributs segons els diferents  nivells
educatius.  A partir d'ells, el professor es donar compta de que
pot utilitzar-se en multitud d'exercicis.
      
      Encara que estigui pensat  per a BUP,  t  perfecta valides
per a FP,   incls,  per al primer curs de carreres  superiors de
cincies i similars.
      
      
      
      i/AGRAMENTS
      
      Desitjaria agrair a les persones que amb els seus consells,
suggeriments i observaci pacient del programa,  han fet possible
que s'enriqus  considerablement.  Tamb  voldria  agrair-lis que
l'hagin utilitzat els alumnes dels seus respectius grups.
      
      M Jess Mora Giner, catedrtica de Matemtiques.
      Juli Vil Algam, professor agregat de Matemtiques.
      Dolors   Masferrer    Baqu,    professora    agregada   de
Matemtiques.
      
      Tampoc  podria  oblidar  a  Fernando  Aisa  Mil, professor
agregat de Geografia i Histria, i a Jordi Pla Planas, catedrtic
de  catal,  per  la  seva  inestimable  ajuda  en  la  confecci
d'aquesta memria.
      
      
      
      
      
      1-DADES IDENTIFICATIVES DE L'AUTOR I DEL PROGRAMA
      
      
      
Ttol del programa:                                      FUNCIONS
Assignatura:                                         MATEMTIQUES
Nivell educatiu:               Primria, Secundria 12-16,  17-18
Nom i cognoms de l'autor:                     JORDI LAGARES ROSET
DNI:                                                     77906458
Adrea:                         Passeig de l'11 de Setembre n 15
                                           BESAL        (GIRONA)
Comarca:             LA GARROTXA. Codi Postal:              17850
Telfon:                                              (972)590045
      
      
      
      
      
      2-DESCRIPCI DEL PROCEDIMENT. MTODES D'ELABORACI
      
      El programa ha estat realitzat en un ordinador  BULL MICRAL
40 de l'Institut de Batxillerat "ALEXANDRE DEULOFEU" de Figueres.
Ha  estat editat  i compilat  amb el  llenguatge  Quick  BASIC v.
4.50,  n de registre de llicncia =  007114Z..450. Els drets han
estat adquirits per l'autor.
      
      
      
      
      
      3-DESCRIPCI DELS PROCESSOS DE VALIDACI EDUCATIVA
      
      Ha estat utilitzat a l'aula  d'informtica,  dotada  amb un
equip  de  8  ordinadors  PC  compatibles,  en  les  hores  B  de
l'assignatura de matemtiques pels  professors del  seminari i en
els cursos 1er,  2on,  3er i COU. S'han utilitzat en cada cas les
prelacions adequades segons el curs.
      
      
      
      
      
      4-REQUERIMENTS DEL HARDWARE
      
      
      El programa es troba en un disc formatat a 360  K. Es troba
en el fitxer FUNCIONS.EXE.
      
      Es  necessita  un  ordinador  PC  compatible  amb  pantalla
grfica VGA, EGA, CGA.
      
      Sn necessaris,  com a mnim, 220 K lliures de memria, amb
pantalla grfica CGA. 410 K en mode EGA i 460 en mode VGA.
      
      Si es  vol utilitzar la  capacitat d'imprimir  per pantalla
resultats,   caldr  que  l'ordinador  estigui  connectat  a  una
impressora.  Si es vol imprimir les grfiques, noms podr fer-se
en  mode CGA  havent-se prviament executat el  programa GRAPHICS
que sol  estar  incls  en  el  conjunt  de  fitxers  del sistema
operatiu.  Normalment,  s'executa aquest  programa amb l'AUTOEXEC
en inicialitzar  l'ordinador.  En cas contrari caldr carregar-lo
en el  prompt  del S.O.  c:\>GRAPHICS  i <RETURN>.  En cas  de no
fer-ho, NO podran imprimir-se els grfics.
      
       Per imprimir els grfics s'utilitza la interrupci del DOS
que  fa  una cpia en  paper de  la pantalla,  la que utilitza la
tecla  <IMPRIMIR PANTALLA>.  Hem  utilitzat  aquesta  soluci, NO
ideal,  perqu s l'nica  manera general de fer  compatibles les
moltes impressores incompatibles.
      
      
      
      
      
      5-INSTAL.LACI  I POSADA EN  MARXA
      
      Per a executar el programa teclegi INICI o FUNCIONS, seguit
de la tecla <RETURN>.
      
      El programa,  AUTOMTICAMENT detecta el  tipus  de pantalla
grfica que t el seu ordinador, incls si no en t. Sempre busca
el mode de pantalla de mxima resoluci possible:  VGA, EGA, i en
ltim cas CGA.  (Aquest ordre pot  modificar-se.  Vegi  la secci
COMANDES).
      
      Si  tracta  d'executar-lo  en  una  pantalla  HRCULES,  el
programa FUNCIONS no actuaria. 
      
      COMANDES:
      
      Quan executi el programa,  pot afegir al nom  unes comandes
que provoquen certes modificacions.  Ser convenient en els casos
que es comenten a continuaci
      
      FUNCIONS  R:   Perqu  els  processos  vagin   ms  rpids.
L'inconvenient,  s que els  clculs  es  fan  amb  la  meitat de
precisi.  Caldr  utilitzar-ho  en  sessions de proves  o en els
casos que no sigui necessria molta exactitud.
      
      FUNCIONS E:  Per anar directament al mode EGA. S'utilitzar
quan  per  causes  de  la  memria,   el  mode  VGA  NO  funcioni
correctament.
      
      FUNCIONS  C  :  Per  anar  directament  al  mode  CGA baixa
resoluci (320*200,  4  colors,  SCREEN 1). s'utilitzar quan per
causes de memria, NO funcionin correctament qualsevol dels modes
anteriors.  Ser necessari utilitzar aquesta comanda quan vulguin
ser dibuixats els grfics per la impressora.
      
      FUNCIONS  2  :  Mode CGA alta resoluci (640*200, 2 colors,
SCREEN  2).  Aquest mode  tamb  permet  sortida  per impressora.
L'avantatge  respecte al mode  anterior s doble precisi  en els
clculs.  Els  desavantatges sn:  ms lentitud i el fet  que tot
apareix en blanc i negre.
      
      FUNCIONS  M :  Per estalviar memria.  En VGA es necessiten
uns 150  K menys,  en EGA uns 110  K menys  i en CGA  16 K menys.
S'utilitzar quand no hi hagi suficient memria lliure disponible
per al programa.
      
      Exemple: c:\>FUNCIONS R C <RETURN> (l'ordre de les comandes
s indiferent)  Ser seleccionat,  mode rpid (meitat precisi) i
mode CGA baixa  resoluci  com  a  mode  de  pantalla  (til quan
vulguem  imprimir.  En cas de  tenir un equip  CGA aquesta ltima
comanda ser irrellevant).
      
      
      
      
      
      6-GUIA DEL PROFESSOR
      
      Per executar el programa  c:\>FUNCIONS,  seguit de la tecla
<RETURN>. Hi ha unes opcions a introduir en la lnia de comandes.
Consultar el captol INSTAL.LACI I POSADA EN MARXA.
      
      Bsicament el que aquest programa fa  s dibuixar funcions.
T tot un conjunt d'opcions, que el fan diferent dels que l'autor
coneix, i s, sobretot, interessant.
      
      El seu  camp d'aplicaci s l'assignatura  de matemtiques,
en qualsevol domini on apareix  el tema FUNCI (definida de forma
explcita).  Fins i tot pot utilitzar-se en altres matries on es
treballa aquest concepte, com Fsica.
      
      Permet estudiar, donada una funci, TOT (quasi tot), el que
hi  ha  en  les   programacions  oficials   de  l'assignatura  de
matemtiques, durant tot l'ensenyament primari i secundari.
      
      De fet una de les primeres  aplicacions del  programa seria
deixar l'alumne sol amb ell,  provant-lo.  Val a dir que ha estat
utilitzat amb alumnes que no havien utilitzat MAI  un ordinador i
amb poques  explicacions  (qu  s  la  tecla RETURN  i  la tecla
ESCAPE)  navegant  amb  ell.  S'aprn  a  utilitzar  un  programa
d'ordinador. Creiem que la interfcie d'usuari s fora comuna i,
sobretot, fcil d'usar.
      
      Es poden aprendre  molts conceptes  lligats  al  de FUNCI,
sense   adonar-se'n,   com  els   de:   ARRELS,  MXIMS,  MNIMS,
CREIXEMENT,  DECREIXEMENT,  DISCONTINUTATS,  LMITS en  un punt,
CONCAVITAT,  CONVEXITAT,  PUNTS D'INFLEXI,  DERIVADA EN UN PUNT,
FUNCI  DERIVADA,  INTEGRAL  DEFINIDA  entre  dos  punts,  FUNCI
INTEGRAL,  TALLS ENTRE DOS FUNCIONS,  REA  ENTRE  DUES FUNCIONS,
etctera. (Veure apartat EXEMPLES PRCTICS).
              
              
              
              
              
              i/DESCRIPCI D'OPCIONS. FUNCIONAMENT
      
              Un cop carregat el programa, apareix la segent pantalla.
      La denominem MEN PRINCIPAL.

Ŀ
                                                      Mode Pantalla: CGA 1 
                                PANTALLA MEN                              
           valor anterior                                                  
                                                                           
               -7.5                esquerra    0   : -7.5                
                7.5     Eix X      dreta       0   : 7.5                 
                1                  unitat     > 0   : 1                   
 PARMETRES:                                                               
                                                                           
               -4                  inferior    0   : -4                  
                4       Eix Y      superior    0   : 4                   
                1                  unitat     > 0   : 1                   
                                                                           
                F(x) =                                                     
                G(x) =                                                     
 FUNCIONS  :    H(x) =                                                     
                I(x) =                                                     
                J(x) =                                                     
                                                                           
                             Control + Majscules                          
 Ŀ  Ŀ  Ŀ  Ŀ  Ŀ  ͻ 
 Continuar  Ajuda  Inicialitzar  caLculadora  Sortir  Dibuixar 
           ͼ 
     ESC         F1          F4             F5           F9        RET     


              FUNCIONS:
              
              Escrigui aqu les funcions que vulgui representar. Cinc com
        a  mxim.  Per editar,  utilitzi les tecles  de  cursor  DELETE i
        BACKSPACE.  Les regles de sintaxi per introduir  les funcions sn
        les  segents  (Prement  F1  en el programa visualitzar aquestes
        pantalles):





 AJUDA 1 ͻ
                                                                           
            FUNCIONS: s un programa que representa funcions.              
                                                                           
    Cal escriure les funcions on posa F(x), G(x),... (50 carcters mxim). 
    La variable independent l'entrarem com a X.                            
    Es pot i cal utilitzar parntesis, ().                                 
                                                                           
                 OPERACIONS                FUNCIONS                        
                                                                           
                 + Suma                                                    
                 - Diferncia                                              
                 * Producte               (veure pgina segent).          
                 / Quocient                                                
                 ^ Potncia                                                
                                                                           
    Les regles sn les conegudes, per davant d'un parntesi cal posar     
    l'operaci.                                                            
                                                                           
                                Exemples                                   
                                                                           
   2x s'escriuria 2*X^2    i 5( x - 2 sin x ) s'escriuria 5*(x-2*SIN(X))  
                                                                           
ͼ
 
 AJUDA 2 ͻ
                                                                           
            FUNCIONS: possibles i la seva sintaxi.                         
                                                                           
       SIN() : Sinus.      Radiants.  SIG() : Sinus.  graus sexagesimals.  
       COS() : Cosinus.       ''   .  COG() : Cosinus.         ''       .  
       TAN() : Tangent.       ''   .  TAG() : Tangent.         ''       .  
                                                                           
       ASI() : ArcSinus.      ''   .  ASG() : ArcSinus.        ''       .  
       ACO() : ArcCosinus.    ''   .  ACG() : ArcCosinus.      ''       .  
       ATA() : ArcTangent.    ''   .  ATG() : ArcTangent.      ''       .  
                                                                           
       LN()  : Logaritme neperi   .  LOG() : Logaritme en base 10      .  
                                                                           
       EXP() : Exponencial         .       e^x.                            
       ALO() : ArcLogaritme en base 10.   10^x.                            
                                                                           
       ABS() : Valor Absolut.                                              
                                                                           
       PI o P: 3.141593            .  NE    : 2.718282                  .  
                                                                           
  NOTA: Per a calcular el logaritme en qualsevol base: Log(x)=LN(X)/LN(B). 
                                                          B                
ͼ


              Un cop introduda  la  funci o funcions,  premi <RETURN> o
        <Ctrl.   D>.  Comenar  el  procs  de  dibuixar  la  grfica  o
        grfiques.   En cas que la funci sigui sintcticament 
      incorrecta,   (exemple,   "x(3-sen(x)",   falta   signe  de
l'operaci davant del "(" i falta tancar un parntesi) apareixer
una capsa d'avs. Prement qualsevol tecla desapareixer.
      
      Les altres opcions del men les estudiarem ms endavant.
      
      Apareixer en el monitor una pantalla grfica,  uns eixos i
la  corba  de  la(s)  grfica(s),  dibuixant-se  una  darrera  de
l'altra.
      
      Aquest procs,   igual que tots  el  processos dinmics del
programa,   pot  ser  interromput  mitjanant   la  tecla  <ESC>.
Apareixer el  missatge  segent  ":Continuar  Men".  En  cas de
prmer la tecla <C>  continuarem el procs.  En cas de prmer <M>
es tornar al men anterior.
      
      Si  es  torna  al  MEN  PRINCIPAL,  encara  que  es  facin
modificacions,   es  pot  tornar  al  punt  anterior,  perdent-se
aquestes  modificacions,   prement  <ESC>   o  <Ctrl.  C>  (Opci
Continuar del MEN PRINCIPAL).
      
      Si acaba el procs de dibuixar una o ms grfiques, sortir
en la  lnia inferior  el  segent missatge  segons  el  cas. Per
accedir  a les opcions  cal  prmer  la  tecla  de  la  lletra en
majscules:  (En tots  els  casos  prement  <F1>  s'arriba  a les
pantalles d'ajuda).
      
      1 FUNCI: Men anterior,  Imprimir,  altres Opcions
      
      M: Tornar al MEN PRINCIPAL.
      
      I:  Per imprimir la pantalla del dibuix.  Noms funciona en
mode de pantalla CGA.  Si estigus visualitzant  en mode superior
(EGA,  VGA), hauria d'arrancar el programa amb la comanda C o 2 i
haver  prviament  executat  la  comanda  del   Sistema  Operatiu
"GRAPHICS".  Veure captol INSTAL.LACI  I POSADA  EN  MARXA i el
captol REQUERIMENTS DEL HARDWARE.  Aquesta  apreciaci s vlida
sempre que volem treure per impressora un dibuix de la pantalla i
no tornem a fer-ne esment.
      
      O:  Accedim a un men d'opcions que permet estudiar  TOT (o
quasi tot)  el que ens pugui interessar sobre una  funci. Hi ha,
en total, 17 opcions. Per a executar-les, cal prmer la tecla del
nombre o de la lletra que apareix al davant.
      
      altres Opcions:
      
      0 men anterior
      
      1  imatge  :  Es demana  un  nombre.  Ens s donada la seva
imatge en el cas que en tingui.  Si es troba entre els  lmits de
l'eix   X,   s  dibuixada.   A  continuaci  ens  s  oferta  la
possibilitat de calcular altres valors utilitzant  les tecles del
cursor (  ->  ,  <- ). Per seguir cal prmer "C". En aquesta i en
les  altres  opcions,  al  final  ens s  oferta  la possibilitat
d'imprimir.  Cal recordar el que hem comentat respecte a aix. En
cas contrari, el programa ens avisaria.
      
      2  antiimatge  :  Es demana un nombre,  que ha de trobar-se
entre els  lmits  de  l'eix  Y.  De  forma  dinmica  ens aniran
indicant totes les seves antiimatges,  en el cas  que les tingui.
Quan hi hagi ms d'un resultat,  com pot sser en aquest i altres
casos,  si al final escollim l'opci Imprimir,  poden ser aquests
impresos sense necessitat d'imprimir la pantalla.  L'ordinador ja
ho indicar.
      
      3 arrels : El programa busca les arrels de la funci.
      
      4  discontinutats  allades  El  programa  dna  els punts
singulars on NO est definida la funci. En aquest cas ens donar
el lmit.  "Exemple:  1/(X-2)"  ens ser dit que lim = . Si fora
"SIN(X)/X" el lmit donat seria lim = 0.
      
      Noms  ens sn indicats  els que  sn  tobats  per  la seva
precisi.  Per exemple,  la  unitat  de  l'eix  X  s  entera, 1,
(X^2-4)/(X-2), que t una discontinutat en x=2. S ser trobada.
Per si  representem  (X-3.1234)^2/(X-3.1234)  que  t  una clara
discontinutat en 3.1234,  NO ser trobada. Per fer-ho hauriem de
posar   com a unitat de l'eix X 3.1234  o un mltiple (o divisor)
seu.  Aix s  degut al  fet que s'utilitza  un  mtode totalment
numric i que es calcula a un cert nombre de punts. Concretament,
entre els valors esquerre i dret de l'eix  X,  en VGA, EGA, o CGA
alta resoluci, es calculen 600 punts. En CGA baixa resoluci, en
300 punts. Si s'ha escollit l'opci "R", ms rpida, a l'arrancar
el programa, aquest nombre de punts es divideix per 2.
      
      En casos com TAN(X),  encara que no es trobi  exactament on
s el  punt  on  no  est  definida  la funci i es  disparen els
valors, ens s indicat: POSSIBLE PUNT DE DISCONTINUTAT .
      
      5  mxims  :  El programa ens dna els mxims  locals de la
funci.
      
      6 mnims : Ens ofereix els mnims.
      
      7  punts d'inflexi  : S'en fa el clcul. En aquests ltims
casos se'ns ofereix l'error amb el qual han estat calculats.
      
      8  derivada  en  un  punt  :Se'ns  demana  un  punt.  Ha de
pertnyer al domini on es representa la grfica.  Ens s donat el
valor  i el  dibuix  de  la  recta tangent.  A continuaci ens s
oferta la possibilitat de  calcular altres valors  utilitzant les
tecles del cursor (  ->  ,  <- ). Per seguir cal prmer "C". 
      
      9  integral  de  lnia  :  Ens demana el valor dels lmits.
Calcula el valor i ens s ofert.
      
      A  integral  definida  :  Ens  demana el valor  dels lmits
d'integraci. Calcula el valor i ens s ofert.
      
      B intervals de creixement  :Apareix en la grfica una lnia
vermella, on la funci s creixent.
      
      C intervals de decreixement,  D intervals de concavitat,  E
intervals de convexitat  : El mateix que en el cas anterior, per
en la zona on es compleix el que s'ha especificat. Per trobar els
lmits dels  intervals,  podem fer-ho  calculant: mxims, mnims,
punts d'inflexi i discontinutats.
      
      F funci  derivada  :  Ens  s oferta de  forma dinmica la
construcci de la grfica de  la funci derivada.  Per obtenir un
valor concret, podem escollir l'opci 8, derivada en un punt.
      
      G  segona  derivada  :  Construcci  de  la funci derivada
segona.
      
      H funci  integral  :  Construcci de la  funci integral a
partir d'un punt que prviament ens haur  estat sol.licitat. Per
obtenir un valor concret, escolliu l'opci 9, integral definida.
      
      
      
      
      
      2 FUNCIONS: Men anterior, Imprimir, Talls, Rea
      
      Les dues primeres  opcions sn les mateixes  que en  el cas
anterior (<F1> ens envia a les planes d'ajuda).
      
      T: Cerca els punts de tall entre les dues funcions.
      
      R: Clcul de l'rea entre les dues funcions entre dos punts
qualssevol. Aquests punts, caldr prviament introduir-los.
      
      
      3 o ms FUNCIONS (5 com a mxim): Men anterior, Imprimir
      
      El mateix que en els casos anteriors per a les dues niques
opcions disponibles (Tamb <F1>, ajuda).
      
      NOTA  1:  Sempre  que el  programa ens  demana quelcom, sl
esser un  nombre  dels  valors  de "x"  o "y"  entre els quals es
dibuixa  la  grfica.  Per  a  escriure'l,  utilitzar  les tecles
habituals d'edici.
      
      NOTA 2:  Tot el clcul que realitza el programa s numric.
Al final,  en quasi tots el s casos, se'ns donar l'error amb qu
s'han fet.
      
      NOTA   3:   Tots   el   processos   dinmics:   Creixement,
decreixement,  concavitat,  convexitat, integral definida, talls,
funci integral,  etctera.  poden sser interromputs  prement la
tecla  <ESC>.  Prement <C>,  el  procs continua.  Prement <M> es
torna al men anterior.
      
      
      Tornant a la pantalla MEN PRINCIPAL:
      
      PARMETRES: 
      
      A la  millor  el  dibuix  de  la pantalla no  ha quedat com
pretenem de a causa de l'escala o  perqu la volem  veure en un
altre interval.  Portant el cursor cap a dalt podrem  accedir als
PARMETRES:
      
      Tant en l'eix "X",  com a l'eix "Y",  el parmetre "UNITAT"
es refereix  al  valor de  cada  interval.  Per defecte  s 1. En
total, hi ha 15 unitats per a l'eix "X" i 8 per a l'eix "Y". Quan
canviem la unitat, canvien els valors dels extrems.
      
      El  canvi d'unitat  s  un  canvi d'escala.  Si  canviem la
unitat 1  de l'eix "Y" per 2, els extrems canviaran a 8. Es poden
canviar els extrems;  per exemple, si canviem l'esquerra de l'eix
"X"  per  0  (valor mxim).  La unitat  passar a valer  0.5. Els
valors mxims i mnims estan indicats en la mateixa  pantalla del
men.   Si   s'introdueix  un  valor   equivocat,  automticament
apareixen els valors anteriors.
      
      Segons els lmits imposats pels PARMETRES,  NO ES POT DIBUIXAR UNA
ZONA DE LA GRFICA EN QU NO HI APAREGUIN ELS EIXOS.
              
              Prement <F1>  (Pgina  d'ajuda  3)  hi  ha  un  esquema del
        significat dels parmetres.
      
      
 AJUDA 3 ͻ
                                                                           
            PARMETRES: sn les caracterstiques dels eixos.               
                                                                           
                           15 Unitats eix X (fix)                          
 Ŀ             
                                                                           
  Valor eix Y superior                                                  
                                                                        
                                                                        
                                                                        
                                                                   8    
                                                                 Unitats
                       Unitat eix Y                              eix Y  
                                                                 (fix)  
             
                                          Unitat eix X                  
                                                                        
                                                                        
  Valor eix Y inferior                                                  
                                                                           
              
 Valor eix X esquerra                                   Valor eix X dret   
ͼ
  
      
      
              Altres comandes del MEN PRINCIPAL:
              
              <F9>  o <Ctrl.  S>.  Per abandonar el programa. Apareix una
        capsa de missatges que caldr contestar amb <S>  o <RETURN> si es
        vol deixar el programa.
              
              <F4>  o (Ctrl.  I>  Serveix per inicialitzar els parmetres
        dels eixos i esborrar les funcions escrites.  Es com si tornssem
        a arrancar el programa.
              
              <F5>  o <Ctrl.  L>.  Si necessita fer un clcul apareix una
        calculadora.  s una capsa blava en  la qual caldr  escriure amb
        llenguatge  matemtic  les  operacions  a  calcular,  seguint les
        mateixes  regles  de  sintaxi   utilitzades   per  introduir  les
        funcions.   Prement  <RETURN>,   es  realitza  el  clcul.  <ESC>
        abandona. En cas que l'operaci sigui sintcticament incorrecta o
        impossible,  (exemple 1/0),  apareixer una capsa d'avs. Prement
        qualsevol tecla desapareixer.  Pot esser til  si  volem definir
        com unitat del eix "X"  PI/4, podem calcular 3.14159/4 i posar el
        resultat en la unitat de l'eix "X".
      
      <F10>.  Aquesta opci no  apareix en  la  pantalla del MEN
PRINCIPAL.   Serveix  per  accedir  al  DOS  temporalment,  sense
abandonar el programa. SHELL.
      
      Per   retornar,   cal  escriure  EXIT  prement  seguidament
<RETURN>.
      
      
      
      
      
      ii/EXEMPLES PRCTICS
      
         8 EGB i 1er de BUP  
      
      
            FUNCI LINEAL
      
      1-Representar les funcions: F(x)=x, G(x)=3*x, H(x)=(1/3)*x.
      
      Observar:
      Totes passen per l'origen.
      F(x) s la bisectriu del primer i tercer quadrant.
      G(x)  Est ms  inclinada  que  les  altres  dues.  Idea de
pendent.
      
      
      2-Representar les funcions: F(x)=x, G(x)=x+2, H(x)=x-3
      
      Observar:
      Totes tenen el mateix pendent.
      G(x)  i  H(x)  no  passen  per l'origen.  Idea d'ordenada a
l'origen.
      
      
      3-Representar   les   funcions   F(x)=2*x-1,  G(x)=2*x+1.5,
H(x)=0.5*x-2.
      
      Indicar:
      Els pendents i ordenades a l'origen respectius.
      
      
      4-Representar la funci F(x)=2.5*x+0.8
      
      Calcular:
      Imatge del 0. Ordenada a l'Origen. Intersecci eix Y.
      Imatge del 1.  Calcular la diferncia entre aquests valors.
Pendent.
      Calcular l'arrel.  Intersecci eix X.  Soluci de l'equaci
2.5x+0.8=0.
      
      
            RESOLUCI GRFICA D'UN SISTEMA DE PRIMER GRAU
      
      5-    Representar   les   grfiques.    F(x)=    2*x-3    i
G(x)=(3/4)*x+(10/4).
      
      Calcular:
      El punt de tall. s la soluci del sistema:
                        2x-y=3
                       3x+4y=10
      
      Plantejar   altres  casos   en   qu   les   rectes  siguin
paral.leles.
      
            FUNCI DE SEGON GRAU
      
      6-Representar  les  funcions  F(x)=x^2,  H(x)=(1/2)*x^2,  i
G(x)=2*x^2.
      
      Observar:
      Les branques es dirigeixen cap a dalt. 
      Totes passen per l'origen.
      El  punt  ms  baix  es  troba  a  l'origen.  Vrtex  de la
grfica. 
      Tenen totes un eix de simetria. Eix Y.
      Com ms gran s el coeficient, ms tancada s la grfica.
      
      
      7-Representar les funcions  F(x)=-x^2,  H(x)=-(1/2)*x^2,  i
G(x)=-2*x^2.
      
      Observar:
      Les branques es dirigeixen cap a baix. 
      Totes passen per l'origen.
      El punt ms alt es troba a l'origen. Vrtex de la grfica. 
      Tenen totes un eix de simetria. Eix Y.
      Quant  ms gran  s  el  coeficient  en  valor absolut, ms
tancada s la grfica.
      
      
      8-Representar  les  funcions  F(x)=x^2+1,  H(X)=-x^2+1    i
G(x)=x^2-1.5.
      
      Observar:
      Tenen les mateixes caracterstiques del cas  anterior. Per
el  vrtex  es  desplaa  en  l'eix  Y  tant  com  el  coeficient
independent.
      
      
      9-Representar la funci F(x)=x^2-4*x+7.
      
      Observar:
      Branques cap a dalt.
      L'eix de simetria est desplaat 2 unitats cap la dreta.
      El  vrtex est desplaat en  horitzontal i  vertical, punt
(2,3).  Per a calcular-lo,  cal anar  al  men  "altres Opcions",
tria "mnims". F(x) tamb pot indicar-se, F(x)=(x-2)^2+3.
      
      Calcular:
      Els  punts de  tallamb l'eix X.  Opci "arrels".  El vrtex
est en el punt mitj.
      El punt de tall amb l'eix Y. Imatge del 0.
      
      
      
            
            RESOLUCI DE SISTEMES DE SEGON GRAU
      
      10-Representar les funcions F(x)=x^2-2*x+2 i H(x)= x+2.
      
      Calcular:
      Els punts de tall.
      
      Plantegeu altres  casos:  Que no  tinguin  soluci.  Que la
soluci sigui nica.
         
         
         
         
         2on DE BUP
      
            FSICA 
      
      11-Es tira  una  pedra  verticalment  cap  a  dalt  amb una
velocitat de 20  m/s. Calcular:
      a/ L'altura mxima.
      b/ El temps que tarda a tornar a terra.
      
      Representar F(x)=-5*x^2+20*x   (altura(t)=-(1/2)gt+Vt)
      
      Per trobar l'altura mxima cal calcular el mxim.
      El temps que tarda a tornar  al terra es troba  cercant les
arrels.
      
            ESTUDI DE FUNCIONS
      
      12-Estudi de generalitats:
      Representar F(x)=x^3/3+x^2/2-2*x-1
      
      Calcular:
      Imatge 0, 1, 3, -2
      Antiimatge 1, 0,-3
      arrels
      mxims
      mnims
      intervals de creixement
      intervals de decreixement
      punts d'inflexi
      intervals de concavitat
      intervals de convexitat
      Calcular la derivada en els punts 1.5, -2, 1
      Calcular la funci derivada
      Calcular la funci segona derivada
      Calcular la integral definida entre -2.5 i -1
            
            
            
            
            LMITS
      
      13-Representar la funci F(x)=SEN(x)/x
      
      Calcular:
      Discontinutats allades
      
      
            DERIVADA EN UN PUNT
      
      Derivada de f(x) en x s:
                   
                    f(x)-f(x)
      f(x)'= lim 
              x   x  x-x
      
      14-Calcular, mitjanant la definici, la derivada de x^2 en
el punt x=3.
      
      Representar  la  funci  F(x)=(x^2-9)/(x-3).   Canviar  els
parmetres segents: eix Y inferior = 0, eix Y unitat = 1.
      
      Calcular:
      Discontinutats allades.
      
      Per   comprovar-ho,  representar  F(x)=x^2  i  calcular  la
derivada en x=3.
      
      
      
            LA FUNCI EXPONENCIAL
      
      15-Representar la funci F(x)=2^x
      
      Calcular:
      Les imatges de 0,1,1.4,2,3,-1,-2
      Les antiimatges de  1/16,  0.25,  64,  arrel  cbica  de 2,
arrel quinta de 4.
      (NOTA:  Pots utilitzar la calculadora,  <F5> en la pantalla
del MEN PRINCIPAL.)
      
      
      
      
      16-Representar   les    funcions    F(x)=2^x,   H(x)=1.5^x,
G(x)=(1/2)^x, I(x)=0.3^x.
      
      Observar:
      Si la base s ms gran que 1  s creixent.  Com ms gran s
la base,  creix ms de pressa.  Si la  base s ms petita  que 1,
decreix.  Com  ms petita sigui,  decreix ms de pressa.  "2^x" i
"(1/2)^x" sn simtriques respecte l'eix Y. Totes passen pel punt
(0,1). Les imatges sempre sn positives.
      17-Si disposem d'un capital de 1000  pessetes. col.locat al
15%,  calcular el  capital desprs de  4  anys. Calcular quant de
temps cal deixar els diners per qu el capital es quintupliqui.
      
      Representar la funci F(x)= 1000*1.15^x.
      Valors dels eixos:
      Eix X esquerra 0
        "   unitat    1
      Eix Y inferior  0
        "   unitat    1000
      
      Calcular:
      La imatge del 4. L'antiimatge de 5000.
      
      
            LA FUNCI LOGARTMICA
      
      18-Representar la funci F(x)=LN(X) "logaritme neperi".
      
      Observar:
      No est definida per a nmeros negatius.  La forma  que t.
E's creixent.  A l'acostar-nos al zero,  les imatges tendeixen al
- infinit.
      
      Calcular:
      La imatge de 1, 2, -3, 0.
      L'antiimatge de 0, 1, -1.
      
      
      19-Representar    les   funcions    F(x)=2^x   G(x)=x     i
H(x)=LN(X)/LN(2). E's la funci Logaritme en base 2.
      
      Observar:
      Son simtriques respecte  a la bisectriu, H(x).
      
      
      20-Representar      les      funcions     F(x)=LN(X)/LN(2),
G(x)=LN(X)/LN(5), H(x)=LN(X)/LN(1/2), I(x)=LN(X)/LN(1/5).
      
      Observar:
      Els  logaritmes  de  base  major que 1  sn  creixents. Els
altres,  decreixents.  Com  ms  gran  s  la  base,  creixen ms
lentament. Passen totes pel punt (1,0). Noms estan definides per
a  nmeros positius.  Log  en  base  2  i Log en base  (1/2), sn
simtriques respecte a l'eix X.
      
      
      
      
            LES FUNCIONS TRIGONOMTRIQUES
      
      21-Representar F(x)=SIG(X). Canviar UNITAT eix X per 90.
      
      Observar:
      El recorregut est entre -1 i 1.
      s una funci peridica. El perode s 360.
      Representar F(x)=COG(X).
      
      Observar:
      El recorregut est entre -1 i 1
      E's una funci peridica. El perode s 360.
      
      Representar F(x)=SIG(X) i G(x)=COG(X).
      
      Observar:
      Sn funcions  semblants.  L'nica diferncia  s  que l'una
est traslladada respecte a l'altra 90.
      
      Pot fer-se l'estudi amb  SIN(X)  i COS(X) posant UNITAT eix
X =  1.57079  (PI/2).  Es tracta  de veure  les mateixes funcions
expressades en radiants.
      
      
      22-Representar F(x)=TAG(X). Canviar UNITAT eix X per 90.
      
      Observar:
      El recorregut sembla que s tot R.
      Hi ha punts que no tenen imatge: 90, -90, 270, -270, etc.
      s peridica. El perode val 180.
      
      
      23-Representar F(x)=SIN(x), G(x)=SIN(2*X), H(x)=SIN(1/2*x).
      
      Observar:
      Que el perode s inversament proporcional a la constant.
      
      
      24-Representar  1/SIG(X),  1/COG(X), 1/TAG(X). E's l'estudi
de las funciones: Cosecant(x), Secant(x) i Cotangent(x).
      
      Observar:
      Les  formes  d'aquestes  funcions.  El perode. Punts on no
estan definides.
      
      
            LES FUNCIONS TRIGONOMTRIQUES INVERSES
      
      25-Representar ASG(X),  ACG(X),  ATG(X). Canviar UNITAT eix
Y per 90.
      
      Observar:
      El domini i el recorregut.
      
         
         
         
         3 BUP
      
            ESTUDI GENERAL DE FUNCIONS
      
      26-Representar F(x)=2.71828^(1/x). Correspon a "e" elevat a
1/X.
      
      Calcular:
      Imatge 0, 1, 3, -2
      Antiimatge 1, 0,-3
      arrels
      mxims
      mnims
      intervals de creixement
      intervals de decreixement
      punts d'inflexi
      intervals de concavitat
      intervals de convexitat
      Calcular la derivada en els punts 1.5, -2, 1
      
      Observar:
      El comportament asimpttic per  a x tendint   a +infinit  i
-infinit,  asmptota  horitzontal.  Per a x tendint  a  0  per la
dreta,  asmptota vertical  "x=0".  Per a x tendint  a  0  per l'
esquerra, F(x) tendeix a 0.
      
      NOTA:  Per observar millor aix ltim,  canviar les unitats
dels eixos pel valor 2.
      
      
      27-Estudi de generalitats:
      Representar F(x)=x^3/3+x^2/2-2*x-1
      
      Calcular:
      mxims
      mnims
      intervals de creixement
      intervals de decreixement
      punts d'inflexi
      intervals de concavitat
      intervals de convexitat
      Calcular la derivada en els punts 1.5, -2, 1
      Calcular la funci derivada
      
      Observar:
      En els punts on hi ha mxims  i mnims,  la funci derivada
s'anul.la.  En  els punts on  la funci derivada  s positiva, la
funci s creixent.  En els punts on la funci s  decreixent, la
funci derivada s negativa.
      
      Calcular la funci segona derivada
      
               (Continua en la  pgina segent).
      
      Observar:
      Els punts d'inflexi  corresponen a punts en  els  quals la
segona derivada s'anul.la.  Observa que on la  funci s cncava,
la segona derivada s positiva. On s convexa, la segona derivada
s negativa.
      
      Calcular la integral definida entre -2.5 i -1
      
      Observar:
      El que representa la integral definida d'una funci entre 2
punts.
      
      Calcular la funci integral a partir del 0
      
      
      28-De entre  els cilindres de  volum 1  litre, trobar el de
menor rea total.
      
             
      Volum=Ra,  rea=2R+2Ra. Sent: R:radi,  a:altura.
      
      rea(R)= 2R + 2/R
      
      Cal  representar F(x)=2*3.141593*X^2+2/X. Cercar el mnim.
      
      
            INTEGRALS
      
      29-Calcular l' rea del cercle de radi 1.
      
      Representar   F(x)=(1-X^2)^(1/2).    Per   obtenir   millor
definici, canviar UNITATS eixos X i Y per 0.25.
      
      Calcular la  integral  definida  entre -1  i 1. El resultat
cal  multiplicar-lo per 2.
      
      
      30-Calcular  l'rea compresa entre les  corbes d'equacions:
F(x)=X^2/2-X+2 i G(x)=X+2.
      
      Representar aquestes funcions  canviant eix Y  INFERIOR = 0
i UNITAT eix Y = 1.
      
      Cercar els punts de tall.  Trobar l'rea entre els punts de
tall.
      
         
         
         
         COU
      
      31-Resoldre l'equaci: x-2=x-4.
      
      Representar: F(x)=ABS(X-2) i G(x)=ABS(X-4).
      
      Calcular els punts de tall, x=3.
      
      
      32-Trobar  els  punts  de  discontinutat   de  la  funci:
F(x)=(X-2)/(X^2-7*X+10).
      
      Representar   aquesta   funci.   Calcular  els   punts  de
discontinutat.   En   x=2,   discontinutat  evitable.  En  x=5,
discontinutat asimpttica.
      
      
      33-Calcular lim (1/x)sen(x/2).
                  x  0
      
      Representar F(x)=(1/X)*SEN(X/2).
      
      Calcular: Discontinutats allades.
      
      
            FRMULA DE TAYLOR
      
      34-El desenvolupament de Taylor per a la funci e^(x) s:
                      2     3     4
       x       x     x     x     x     
      e  1 +  +  +  +  + ...
               1!    2!    3!    4!
      
      Representar les segents funcions:
                       x
      F(x)=2.71828^X, e .
      G(x)=1+X
      H(x)=1+X+X^2/2
      I(x)=1+X+X^2/2+X^3/6
      etctera.
      
      Observar  que,   a  mesura  que   agafem  ms   termes  els
desenvolupaments sn ms semblants a F(x).
      
      NOTA:  A ser possible,  estudiar-ho en pantalla  VGA o EGA.
Cada grfica apareix en un color distint.
      
      
      35-Calcular la longitud de l'arc de  corba y=Ln(x) compresa
entre x=1 i x=2.
      
      Representar F(x)=(1+(1/X)^2)^(1/2).
      
      Calcular la integral definida entre 1 i 2.
      36-Calcular una arrel del polinomi a  l'interval ]0,1[, amb
el mnim error possible.
      
      Representar F(x)=X^4+2*X^2-X-1.  Canviar  eix X ESQUERRA=0,
eix X DRETA=1.
      
      Calcular les arrels.
      
      
            MATEMATIQUES II ESTADISTICA
      
      37-La  puntuaci   mitjana  dels  examens  d'ingrs   a  la
universitat de  30000  alumnes s de  5.6  i la desviaci tpica,
0.6. Quants alumnes han tingut una puntuaci compresa entre 4.4 i
6.8? I quants alumnes han aprovat?
      
      Representar:
      F(X)= 30000/((2*P)^.5*.6)*EXP(-(x-5.6)^2/2/.6^2)
      Canviar eix Y inferior = 0, eix Y superior = 24000.
      Eix X esquerra = 0, eix X dreta = 15.
      
      Calcular integral definida entre 4.4 i 6.8.
      Calcular integral definida entre 5 i 15.
      
      
      
      
      
      iii/FE D'ERRATES
      
      1-Calcular  punts  d'inflexi,  intervals  de  concavitat i
convexitat en funcions de comportament lineal o quasi lineal, pot
donar lloc a errors.  Aix s degut a l'error que fa l'ordinador,
en alguns clculs. Com 1-3/3<>0.
      
      Per   evitar aquest problema: NO calculeu aquests conceptes
en las funcions lineals. F(x)=mx+n.
      
      2-Si  s'utilitza  la  funci  Valor  Absolut,  ABS(), podem
trobar que en algun punt,  si calculem la derivada,  pot donar un
valor,  quan sabem que,  en realitat,  NO existeix. Sn els punts
angulosos.
      
      Exemple en F(x)=ABS(X). En el punt 0.
      
      Quan s'utilitza la funci  Valor Absolut  i es vol calcular
la derivada en algun punt,  es recomana, anar amb compte  i tenir
present aix.
      
      3-Si  calculem  la  primera,   o  segona  derivada  de  les
funcions:   SIG(X),  COG(X),  TAN(X),  funcions  trigonomtriques
expressades  en  graus  sexagesimals,  podem  trobar-nos  amb una
sorpresa.  Concretament  en  el  cas  del  sinus(x).  La  primera
derivada no sembla donar la funci  cosinus(x),  si no una funci
amb uns valors  molt  semblants al zero.  s degut al fet  que la
derivada de la funci sinus(x) en graus,  val:
      
      Sabem  que:  Sin'()  =  Cos()  , on  est expressat  amb
radiants, RAD.
      
      Per passar de RAD a : x=K, on K=PI/180 i x est expressat
en .
      
      Veurem que Sin'(x) = K*Cos(x), on K0.017.
      
                    sin(x+h) - sin(x)
      Sin'(x)= lim ------------------- = *1
               h 0           h
      
      Per calcular els sinus,  passem a radiants:
      
                sin[(x+h)K] - sin(xK)
      *1 = lim ---------------------- = *2
           h 0            h
      
                sin(xK)cos(hK)+cos(xK)sin(hK) - sin(xK)
      *2 = lim ---------------------------------------- = *3
           h 0                     h
      
                         cos(hK)-1             sin(xK)
      *3 = lim [sin(xK) ----------- + cos(xK) ---------] = *4
           h 0               h                    h
      Calculem:
      
           sin(xK)          sin(xK)
      lim -------- = lim K --------- = K
      h 0      h     h 0      xK 
      
      
      *4 = sin(xK) . 0 + cos(xK) . K
      
      O  sigui  tornant  a  calcular  les  raons trigonomtriques
mitjanant :
      
      Sen'(x) = K.Cos(x)
      
      Aix fa que la funci COSINUS que surt com a derivada de la
funci SINUS (expressades  ambdues  amb  graus  sexagesimals, ),
vingui afectada per una constant (0.017). En la pantalla, excepte
que no augmentem molt l'escala, NO es veu representada. ES confon
amb l'eix X.
      
      Per evitar aquest problema:  NO estudiem  les  derivades de
les funcions trigonomtriques mitjanant  aquestes expressades en
graus.  CAL FER-HO  amb les equivalents expressades  en radiants:
SIN(X), COS(X), TAN(X).
      
      NOTA  DE  L'AUTOR:   Si   els   usuaris  d'aquest  programa
detectessin  algun error o volguessin  fer-me  algun suggeriment,
els agrair que m'ho facin saber.
      
      
      
      
      
      7-GUIA DE L'ALUMNE
      
      Cal escriure FUNCIONS, seguit de la tecla <RETURN>. Prement
un parell de vegades qualsevol tecla s'arriba al MEN PRINCIPAL.
      
      Per  moure's,  amb les tecles del cursor.  Per corregir amb
les tecles <DELETE> i <BACKSPACE>.
      
      Escriu  la(es)   funci(ns)   que  vulguis  representar  en
FUNCIONS: F(X), H(X), I(X), J(X), seguint les regles d'escriptura
que apareixen en la pantalla d'ajuda. Cal prmer la tecla <F1>.
      
      Si   vols   modificar   els   PARMETRES,   que   sn   les
caracterstiques  dels  eixos,  situa-t'hi  i  escriu  el  nombre
adequat.  Els lmits vnen donats en la mateixa pantalla del MEN
PRINCIPAL. Si vols saber ms detalls, prem <F1>.
      
      Per abandonar el programa,  prem <F9>  i contesta <S> en la
capsa d'opcions que apareix. En cas contrari prem <N>.
      
      Prement <F5>, pots accedir a una calculadora. Per introduir
l'operaci cal seguir les mateixes instruccions que per introduir
les funcions, <F1> ajuda.
      
      Per dibuixar les funcions, un cop escrites, prem <RETURN>.
      
      Es dibuixa la funci. Si t'has equivocat o vols interrompre
el procs,  prem <ESC>.  Contesta <C>, si vols continuar o <M> si
vols tornar al MEN PRINCIPAL.
      
      Una  vegada  dibuixada   la(es)  funci(ns),  sortiran  els
segents mens d'opcions, segons el cas:
      
      
      1 FUNCI: Men anterior, Imprimir, altres Opcions
      
      M:  Tornar al MEN PRINCIPAL.
      I:  Per  imprimir  la  pantalla  del  dibuix.  Consulta  al
professor.
      O:  Per anar a un  men d'opcions que  permet estudiar TOT,
o  quasi tot,  el que ens pot  interessar d'una funci.  Hi ha en
total 17, opcions. Per executar-les cal prmer el nmero o lletra
que hi ha al davant.
      
      Les opcions sn:
      
      0  men anterior
      1  imatge  
      2  antiimatge 
      3  arrels
      4  discontinutats allades 
      5  mxims 
      6  mnims 
      7  punts d'inflexi 
      8  derivada en un punt  
      9  integral definida 
      A  integral de lnia
      B  intervals de creixement  
      C  intervals de decreixement
      D  intervals de concavitat
      E  intervals de convexitat
      F  funci derivada 
      G  segona derivada 
      H  funci integral 
      
      
      2 FUNCIONS: Men anterior, Imprimir, Talls, Rea
      
      Les dues primeres opcions sn les mateixes  que abans. <F1>
per anar a les pgines d'ajuda.
      
      C: Cerca els punts de tall entre les dues funcions.
      
      R: Clcul de l'rea entre les dues funcions entre dos punts
qualssevol.
      
      
      3 o ms FUNCIONS (5 mxim): Men anterior, Imprimir
      
      El mateix  que en  el  cas anterior  per  les  dues niques
opcions disponibles. Tamb <F1> , ajuda.
